弦音振动的研究 · 虚拟仿真实验

参数控制台

弦长 L 0.80 m

张力 T 80 N

弦直径 d 0.50 mm

谐波次数 n 1 次

振动幅度 A 1.00

弦材料

视角

音色（泛音结构）

音量 25 %

弦长 0.80 m

第 1 次谐波

—

拖拽旋转 · 滚轮缩放

波速 v—m/s

波长 λ—m

频率 f—Hz

周期 T—ms

线密度 μ—g/m

音名—

理论模型

波速 v = √(T / μ)

波长 λ_n = 2L / n

频率 f_n = (n / 2L)·√(T / μ)

驻波 y = A·sin(nπx/L)·cos(ωt)

实时计算

链长 L	— m
张力 T	— N
线密度 μ	— kg/m
波速 v = √(T/μ)	— m/s
波长 λ_n = 2L/n	— m
频率 f_n	— Hz
角频率 ω = 2πf	— rad/s
周期 T = 1/f	— ms
波节数 / 波腹数	—

谐波序列 n = 1…8

n	频率 / Hz	音名

探究：频率与张力的关系

由 f ∝ √T，理论上 f² 与 T 成正比。下方曲线为当前参数下的实测采样。

当前状态：未开始测量

探究：频率与弦长的关系

由 f ∝ 1/L，理论上 f 与 1/L 成正比（双曲线）。

当前状态：未开始测量

材料对比（同 L、同 T）

材料	μ / (g/m)	f₁ / Hz

为什么弦能发出音？

两端固定的弦被激发后，只能以驻波的形式振动——弦上的反射波与入射波叠加，形成位置固定不动的波节与振幅最大的波腹。

弦的两端必须是波节，这限定了弦长 L 与波长 λ 的关系： L = n·λ_n / 2　(n = 1, 2, 3, …) 因此只有某些特定频率能稳定存在，这就是固有频率。

T n=1 时全弦作一个"鼓包"振动，叫基频，决定音高；n≥2 的分段振动叫谐波（泛音）。

三个决定音高的量

张力 T 越大 → 音越高f ∝ √T。张力变为 4 倍，频率翻倍（升高八度），所以调音就是调张力。
弦长 L 越短 → 音越高f ∝ 1/L。长度减半，频率翻倍。按弦、换把就是这个道理。
线密度 μ 越大 → 音越低f ∝ 1/√μ。粗弦、缠铜弦用来发低音——低音弦必须更粗更重。

泛音与音色

同一音高（相同基频）的弦，听起来却千差万别：小提琴与钢琴的 A4 都是 440 Hz。差别来自各次谐波的相对强度——也就是音色。

激发点位于某谐波波腹则被加强，位于波节则被抑制。演奏者正是通过控制拨弦/运弓的位置与力度，抑制第 7、9、11 号等不协和泛音，让声音更悦耳。

💡 在本实验中切换到「多谐波叠加」模式并调节分音强度，就能直观听到音色的变化。

真实弦与理想弦

真实弦有刚度，横向弯曲会带来畸变，使高次谐波频率略偏离整数倍，且高频衰减更快——这就是钢弦比羊肠弦听起来更有"金属感"的原因。本实验采用理想弦模型，同时加入阻尼衰减以贴近真实听感。

实验说明